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(相關資料圖)

問題的提出

為了適應現代戰爭的需要，戰術導彈已逐漸采用大攻角控制方式, 而且已在很多新型導彈上使用, 例如垂直發射的地空導彈、艦空導彈、采用BTT (Bank-To-Turn) 技術的戰術導彈。無論是垂直發射的戰術導彈,還是BTT導彈,為了使導引頭能夠捕獲目標,均要求精確地控制導彈的姿態,這就要求實時地測量彈體的姿態。通常,采用機械平臺或捷聯系統來測量彈體的姿態。在導彈大機動情況下,用傳統的框架式自由陀螺儀測量彈體姿態, 將會出現陀螺傾翻。國外有人在此基礎上通過增加框架來解決此問題, 獲得成功,但是結構復雜、成本昂貴, 所以, 對于戰術導彈來講實用價值不大。而捷聯系統是一個無框架系統,一般由三個速率陀螺、三個加速度陀螺和一臺微機組成,通過計算機建立一個數學的穩定平臺,通過方向余弦進行坐標轉換。由此可見捷聯系統具有體積小,質量輕、成本低和可靠性高等優點,所以,在戰術導彈系統中被逐漸廣泛采用。

通常,在導彈姿態控制系統中,彈體的三個姿態角(俯仰角θ、偏航角Ψ、滾轉角γ）要直接用來參加控制。可是,當導彈俯仰角趨近于90°時, 姿態角表示法存在奇異性問題, 即姿態角Ψ, γ具有多值性。

另外, 在捷聯系統中速率陀螺測量沿彈體三個軸的角速度ω_x,, ω_y, ω_z,計算機根據角速度計算彈體姿態, 姿態解算主要由以下幾步完成：

其中(1-3)式是根據偏航角Ψ、俯仰角θ、滾轉角γ的姿態角順序得出的。由(1-3) 式可知θ角可由T21得出Ψ角可由T11和T31消去cosθ得出。γ角可由T22， T23消去cosθ得出。可見解算姿態角的計算量較大, 所以將對捷聯計算機提出較高的要求。

鑒于上述情況, 我們考慮采用四元數來表示彈體姿態,并進行姿態控制系統設計,這樣既可解決姿態角表示法存在的奇異性問題,又可減少捷聯系統的計算量, 從而降低對計算機系統的要求,這一點對戰術導彈來講具有重要實用價值。

本文首先給出了大機動飛行情況下彈體的動力學模型。然后, 基于非線性系統解耦控制思想設計了姿態控制系統,并驗證了系統的穩定性。最后, 通過數值仿真驗證了本文提出方法的有效性。

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彈體動力學模型

考慮到導彈姿態控制的特點以及敏感元件均安裝在彈體坐標系上,我們采用彈體坐標系來描述導彈的運動, 從而可寫出彈體的三個轉動方程:

其中α為攻角, β′為反映了側滑角β大小的一個物理量,當β較小時, β′近似等于β，Jx，Jy，Jz，Lx，Lα，Lβ，Lδ，Mα，Mβ，My，Mδ，Nα，Nβ，Nz，Nδ是適當常數。

其中g是重力加速度,p為發動機推力, m 為導彈質量,Vx為導彈飛行速度V 在彈體軸x 上的分量,bx為適當常數。

我們引入狀態變量tgα tgβ′，采用文獻的處理方法, 可得比較( 1-2) 、(l-3)式可知,

將上述各式代入(2-4) 、(2-5) 、(2-6) 式, 并定義狀態變量

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姿態控制系統的設置

對于(2-8) 式描述的彈體姿態動力學模型,為了實現解耦控制,我們選擇四元數分量q1,q2,q3作為系統(2-8) 的輸出量,即

并采用非線性輸出解耦方法進行姿態控制系統設計。

為了敘述問題方便, 引入下列算子A

這樣,根據(2-8) 、(3-l)式可得

成立, 那么此時x2=q1=1,再根據(l-2)、（1-3）式計算可知此時θ=0，Ψ=0，γ=180°。而對于我們所考慮的問題γ不可能達到180°, 所以(3-7) 式不可能成立, 從而也說明

成立, 那么此時x3=q2=1,再根據(l-2)、（1-3）式計算可知此時θ=0，Ψ=180°，γ=0。而對于我們所考慮的問題Ψ不可能達到180°, 所以(3-7) 式不可能成立, 從而也說明

成立, 那么此時x4=q3=1。再根據(l-2)、（1-3）式計算可知此時θ=0，Ψ=180°，γ=180°，而對于我們所處理的問題，Ψ，γ不可能達到180°, 所以(3-10) 式不可能成立, 從而也說明

我們定義

由于本文所討論的導彈在大機動飛行情況下, 狀態變量x1(q0) 始終保持大于零, 所以可判定系統(2-8) 在選擇( 3-l) 式所示輸出變量的情況下滿足完全輸出解耦控制的充要條件。

根據( 3-2) 式,可得

綜合上述推導結果,可得系統(2-8)在選擇x2,x3,x4 作為輸出變量情況下的解耦控制律

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仿真驗證

我們對(2-8)、( 3-l)、(3-17) 式所示的,由四元數所描述的姿態控制系統進行了數值仿真, 系統參數分別取為

為了討論問題方便, 我們將解藕輸入輸出閉環系統(3-18) 寫成如下一般形式

其中M,N是確定的正定矩陣,用來產生理想的閉路響應。為使問題簡單, 我們選擇

其中I是(3×3) 的單位矩陣。(5-l)、(5-2) 式表明對系統狀態x2, x3, x4的輸出誤差產生阻尼比為ζ，頻率為ω0的二階響應。通常, 可以通過增加ζ和ω0來增加系統的穩定性，因為這增加了M,N 的正定性, 如果ζ，ω0的值太小, 系統的不確定性等誤差項就會對系統動特性起主導作用, 最終導致不穩定, 本文通過仿真認為取ζ=0.7～1.0，ω0=3～6 rad/s 比較合適。

圖1～圖4 給出了在如下初始條件下

給定參考輸出取定為

情況下的四元數分量q0,q1,q2,q3隨時間的變化曲線。圖5～圖7別給出了相應俯仰角θ、偏航角ψ、滾轉角γ隨時間的變化曲線。

值得指出的是, 初始條件( 5-3) 對應的姿態角是

而給定參考輸出( 5-4) 式對應的姿態角是

從仿真結果可以看出, 基于四元數推導得到的控制律( 3-17) 實現了彈體姿態的大機動控制,而且控制精度較高,從而也證明了本文提出方法的有效性。

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結束語

本文提出并研究了基于四元數進行戰術導彈姿態控制系統的設計問題。研究結果表明,這一方法是可行的,它不僅解決了姿態角表示法存在的奇異性問題, 而且可減少捷聯計算機的計算量, 這一點對戰術導彈來講具有重要實際意義。

本文主要討論了姿態控制系統的設計問題, 有關這種形式姿態控制系統的實現問題有待進一步研究。另外, 取不同的四元數分量作為直接被控制量(即系統輸出量), 將得到不同形式的控制規律, 那么選擇哪三個分量作為系統輸出為好, 或者采取其它的控制方法等問題也有待進一步研究。

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