1.電機(jī)工作的物理原理

(資料圖)

1.1麥克斯韋方程組

電機(jī)(elektrische Maschine)是一個(gè)對(duì)電磁能和機(jī)械能進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)換的換能器，當(dāng)輸入電能，電機(jī)就可以源源不斷地輸出轉(zhuǎn)矩和機(jī)械能，即電動(dòng)機(jī)；反之，如果外力不斷推動(dòng)電機(jī)軸，輸入機(jī)械能，電機(jī)就能反向從導(dǎo)線端源源不斷輸出電壓和電能，也即發(fā)電機(jī)。歷史上曾經(jīng)把靜態(tài)不動(dòng)的變壓器也算作電機(jī)，但是后來(lái)逐漸演化成專指電動(dòng)機(jī)(Motor)和發(fā)電機(jī)(Generator)。電機(jī)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是它們的損耗相對(duì)較小，因此它們實(shí)現(xiàn)了高效率。大型電機(jī)可以實(shí)現(xiàn)高達(dá)99％的效率。

談及電磁系統(tǒng)，就繞不開麥克斯韋方程組，在宏觀世界乃至微觀世界都可以很有效地使用用麥克斯韋方程組來(lái)描述系統(tǒng)性質(zhì)。麥克斯韋方程組經(jīng)過(guò)對(duì)前人對(duì)電磁現(xiàn)象研究地總結(jié)，有四條非常基本的方程，有微分形式和積分形式。現(xiàn)在來(lái)考察積分形式地麥克斯韋方程組：

(1.1)

(1.2)

上面兩式描述了場(chǎng)密度的通量，分別在一個(gè)封閉空間曲面內(nèi)流出電位移的總和和磁感應(yīng)的總和,根據(jù)高中所學(xué)知識(shí)，電場(chǎng)可由點(diǎn)電荷激發(fā)產(chǎn)生，磁場(chǎng)不能由磁單極子激發(fā)，而是延著路徑封閉，所以電場(chǎng)是有源的，磁場(chǎng)是無(wú)源的。所以總的電位移通量為總電荷量q，總磁通量為0。

(1.3)

(1.4)

上述兩式描述了場(chǎng)強(qiáng)度的旋量，分別在一個(gè)封閉空間曲線上沿著曲線路徑走一圈的總電場(chǎng)強(qiáng)度和總磁場(chǎng)強(qiáng)度的積分，對(duì)應(yīng)了激發(fā)出來(lái)的磁通變化率和電位移變化率（電流強(qiáng)度）。通過(guò)高斯公式和斯托克斯公式還可以將上述四個(gè)式子改寫為微分形式：

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

為Nabla算子，與向量點(diǎn)乘計(jì)算散度，叉乘計(jì)算旋度，為電荷體密度，為電流密度。上述幾條式子基本可以描述所有一切電機(jī)系統(tǒng)中會(huì)發(fā)生的電磁行為。

1.2材料的極化和磁化

在一個(gè)外加電場(chǎng)中，物質(zhì)分子會(huì)因?yàn)闃O性受場(chǎng)強(qiáng)影響而發(fā)生取向變化，原有排布不均勻的各種大小分子團(tuán)形成的電疇會(huì)因?yàn)橥饧訄?chǎng)，電荷分布取向趨同而發(fā)生極化。

(1.9)

為真空電容率，亦真空介電常數(shù)，為相對(duì)介電常數(shù)，由材料本身性質(zhì)決定。（1.9）描述了外加電場(chǎng)和對(duì)應(yīng)極化強(qiáng)度共同構(gòu)成的電位移密度。

在一個(gè)外加磁場(chǎng)里，同理可以得到對(duì)應(yīng)的磁疇和磁化強(qiáng)度與電場(chǎng)不同的是引入了一個(gè)磁極化強(qiáng)度，它描述了材料和真空環(huán)境下磁感應(yīng)強(qiáng)度的差值。

(1.10)

為真空磁導(dǎo)率，為相對(duì)磁導(dǎo)率，描述了材料允許磁場(chǎng)通過(guò)的能力。如果，則為抗磁性，材料阻礙磁場(chǎng)通過(guò)；如果，則表現(xiàn)為順磁性，材料順應(yīng)磁場(chǎng)通過(guò)；為鐵磁性，材料比如鐵鈷鎳會(huì)在磁化以后增強(qiáng)磁場(chǎng)且再移走磁場(chǎng)后保留一定強(qiáng)度磁場(chǎng)，即所謂剩磁。在電機(jī)運(yùn)行的過(guò)程中會(huì)不斷出現(xiàn)磁化和退磁，所以也應(yīng)該注意對(duì)不同材料磁滯回線的考察。

圖1.1 磁滯回線

磁滯回線描述了外加磁場(chǎng)強(qiáng)作用下一種磁性材料隨著場(chǎng)強(qiáng)增大而不斷增強(qiáng)其磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度在達(dá)到磁飽和以后很難跟隨場(chǎng)強(qiáng)繼續(xù)增強(qiáng)，當(dāng)外部磁場(chǎng)強(qiáng)慢慢減小至零，可以看到退磁曲線過(guò)零點(diǎn)時(shí)，依然保有剩磁，這個(gè)剩磁就明示了一般永磁體的制造原理，即定向磁化再逐步退磁。而當(dāng)施加反向磁場(chǎng)致使磁感應(yīng)強(qiáng)度歸零乃至反向增大，這個(gè)過(guò)零點(diǎn)稱為矯頑強(qiáng)度

1.3電磁力

電機(jī)最大的價(jià)值就是實(shí)現(xiàn)電能到機(jī)械能的轉(zhuǎn)化，對(duì)外做功，執(zhí)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)。帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)受到垂直于運(yùn)動(dòng)方向的洛倫茲力，其宏觀表現(xiàn)就是安培力，可以使用左手定則判斷方向，為電流方向下導(dǎo)體在磁場(chǎng)中有效長(zhǎng)度。

圖1.2 用以判斷電流，磁感應(yīng)強(qiáng)度和受力方向的左手定則

靜電場(chǎng)里也有對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)力。而磁場(chǎng)和電場(chǎng)本身都是場(chǎng)，對(duì)其中電荷或者電流元施加作用力時(shí)，依賴于體積和場(chǎng)密度，因而可以用場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)考察對(duì)應(yīng)的場(chǎng)力：

(1.11)

(1.12)

上述兩式依然保持了對(duì)稱性，電荷體密度在一定體積內(nèi)由于電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)產(chǎn)生了電能力密度，電流密度也在一定體積內(nèi)由于磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)產(chǎn)生了磁能力密度（以上式(1.12)必須在材料各向同性和恒定電流情況下方可使用）這種表述方式啟發(fā)我們可以直接考察電磁場(chǎng)的能量和能量密度，這樣可以確定某一點(diǎn)的電磁勢(shì)能通過(guò)求梯度來(lái)獲得對(duì)應(yīng)的電磁力密度從而求得對(duì)應(yīng)考察物體受到的總的電磁力了。

1.4線圈模型

線圈是一個(gè)構(gòu)成電機(jī)模型的基本元素，它橋接了電機(jī)的電路模型和實(shí)物的物理模型。一段直線通電導(dǎo)體會(huì)在周圍產(chǎn)生環(huán)形磁場(chǎng)(根據(jù)式1.4)，當(dāng)導(dǎo)體首尾閉合后，環(huán)形磁場(chǎng)在導(dǎo)體環(huán)中心形成豎直通過(guò)導(dǎo)體環(huán)的磁力線，比如螺線管。

圖1.3 螺線管和對(duì)應(yīng)磁力線分布情況

只考慮通電導(dǎo)體上的電流，(1.4)簡(jiǎn)化為：

(1.13)

磁動(dòng)勢(shì)(magnetische Durchfluchtung)，是激發(fā)磁場(chǎng)強(qiáng)度的源頭，本質(zhì)為一段封閉導(dǎo)體上通過(guò)的總電流強(qiáng)度，單位為[A]。因?yàn)閷?shí)際操作時(shí)會(huì)把通電導(dǎo)線纏繞成線圈，所以導(dǎo)線電流是離散化的，(1.13)改寫為：

(1.14)

為線圈總纏繞數(shù)，即匝數(shù)。可見如果匝數(shù)越多，總電流就越大，磁動(dòng)勢(shì)就越大，能激發(fā)的磁場(chǎng)就越強(qiáng)。

電生磁，磁也能生電，一個(gè)處在時(shí)變磁場(chǎng)里的單匝線圈會(huì)在導(dǎo)線兩端感應(yīng)出電壓，此現(xiàn)象可由(1.3)描述，當(dāng)我們把線圈通過(guò)面積里的磁感應(yīng)強(qiáng)度求和即可得到總的磁通量

(1.15)

可知磁感應(yīng)強(qiáng)度也可以理解為磁通密度，代入(1.3)可得

(1.16)

為感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，考慮磁通變化兩種形式，一是變化線圈面積而是變化磁通密度，則有

(1.17)

圖1.4.1形式變換的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

圖1.4.2平移變換的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

前一部分是形式變換的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(transformatisch induzierte Spannung)，后一部分是平移變換的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)(translatorisch induzierte Spannung)。前者磁通密度時(shí)變，后者有效線圈面積時(shí)變。這個(gè)感應(yīng)原理在高中物理時(shí)會(huì)被提及，也就是所謂的楞次定理。

當(dāng)一個(gè)線圈有好多匝數(shù)的時(shí)候，總的有效磁通正好是擴(kuò)大了線圈匝整數(shù)倍，于是引入磁鏈的概念。定義磁鏈。注意，磁鏈和磁通一樣都是標(biāo)量。因?yàn)殡娏鞅旧碜兓材芤鸫磐ㄗ兓溱厔?shì)為阻礙磁通變化，可以做出定義

(1.18)

(1.19)

為變化的電流強(qiáng)度，為自感系數(shù)，單位亨利[H]，其大小和線圈體積形狀，匝數(shù)，磁導(dǎo)率都有關(guān)系。電機(jī)中線圈都會(huì)為了提高磁導(dǎo)率而讓線圈中間加入鐵磁性材料，比如鐵芯，這樣線圈就會(huì)繞在鐵芯上，故而被稱為繞組(Wicklung)。

對(duì)于一段線性各相同性的材料來(lái)說(shuō)，它的自感系數(shù)可由以下公式近似描述

(1.20)

自感就是一個(gè)線圈自身電流變化感應(yīng)出阻遏電壓的現(xiàn)象，其趨勢(shì)為阻礙電流變化，當(dāng)兩個(gè)線圈靠近時(shí)，他們彼此除了自己的自感，還會(huì)因?yàn)猷徑木€圈上電流變化而產(chǎn)生互感

(1.21)

線性各相同性的材料的互感系數(shù)用上式近似表達(dá)，可見互感同時(shí)受到兩個(gè)線圈的匝數(shù)影響。

圖1.5 同時(shí)穿越線圈1(Spule 1)和線圈2(Spule 2)的磁場(chǎng)下的耦合感應(yīng)

忽略電阻，考察兩段臨近線圈的自感和互感情況，由圖1.5可列出電壓方程

(1.22)

(1.23)

由于耦合部分擁有同樣的材料參數(shù)和形狀所以產(chǎn)生的互感系數(shù)是相等的，于是在倆線圈上分別產(chǎn)生的耦合磁鏈大小正比于對(duì)應(yīng)線圈上的電流強(qiáng)度

(1.24)

1.5電路和磁路的歐姆定理

在中學(xué)的時(shí)候我們學(xué)習(xí)過(guò)歐姆定理，即一段導(dǎo)體的電阻為兩端電壓和電流之比，描述電阻材料本身也有公式，為電導(dǎo)率，它正好為電阻率的倒數(shù)，描述了對(duì)電流的導(dǎo)通能力。除了應(yīng)用電阻，還可以使用電導(dǎo)描述電壓電流之間的關(guān)系：

(1.25)

(1.26)

現(xiàn)在考察單位面積上的電流強(qiáng)度，即電流密度（為單位矢量），電流密度為矢量，方向指向電流方向。可以結(jié)合電壓公式以及(1.25)改寫(1.26)為：

(1.27)

上式描述了微觀時(shí)歐姆定理，即導(dǎo)體外加恒定場(chǎng)強(qiáng)下對(duì)應(yīng)的電流密度的變化。

圖1.6 整塊鐵芯的磁通和磁路

在一個(gè)磁路中，磁通(magnetische Fluss)也是一種流量，不同材料對(duì)磁通的阻礙程度也各不相同，因而可以類比電路的歐姆定理引入磁阻的概念(單位[A/Vs])，由磁動(dòng)勢(shì)類比于電動(dòng)勢(shì)，可以得到新的對(duì)應(yīng)關(guān)系

(1.28)

為磁通量通過(guò)一段磁路的有效長(zhǎng)度，為對(duì)應(yīng)的磁通面積。上式與電阻公式很像。讓我們?cè)賹?duì)磁阻公式變形，可以繼續(xù)得到

(1.29)

可見在單位上磁阻其實(shí)和電感系數(shù)是倒數(shù)。

繼續(xù)類比電導(dǎo)的概念，可得磁導(dǎo)(magnetische Leitwert,單位[H]或者[Ωs])

(1.30)

(1.31)

在電路中我們對(duì)(1.26)求微元，得到微觀的歐姆定理，那么對(duì)應(yīng)到磁路的微觀歐姆定理是什么呢？我們可以繼續(xù)改寫式(1.31)，注意到磁通本身就有磁通密度,那么可得

(1.32)

所以微觀磁路歐姆定理就是式(1.10)，磁場(chǎng)強(qiáng)度下就是恒強(qiáng)磁場(chǎng)的磁化所得磁通密度。

對(duì)磁阻的計(jì)算分析可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)電機(jī)繞組極，鐵芯部分和中間氣隙部分的磁通的微元分析，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)磁路進(jìn)行離散的有限元分析FEM(Finite-Elemente-Methode)。在磁路里也完全可以應(yīng)用電路的基爾霍夫定理進(jìn)行分析，十分直觀方便。

1.6小結(jié)

到現(xiàn)在，一些電機(jī)所需的基本物理知識(shí)基本上都覆蓋到了。

有讀者建議我應(yīng)該總結(jié)一個(gè)電磁對(duì)應(yīng)關(guān)系的表格，這樣便于記憶和理解，于是在此次修訂中在小結(jié)里給出附表。

表1.1 電磁場(chǎng)中電磁關(guān)系

表1.2 電路網(wǎng)絡(luò)中的電磁關(guān)系

表1.3 電路中的電磁關(guān)系

編輯：黃飛