1、坐標變換的性質及約束條件

坐標變換是一種線性變換，如無約束，變換就不是唯一的。在電機的系統分析中，所應用的坐標變換可有兩種約束：

（1）功率不變約束，即變換前后功率保持不變。

（2）合成磁動勢不變約束，即變換前后合成磁動勢保持不變

(相關資料圖)

1.1 功率不變約束

設在某坐標系統中各繞組的電壓和電流向量分別為 *u * = [u 1, u 2, …, u n]^T^和 *i * = [i 1, i 2, …, i n] ^T^ ，在新的坐標系統中電壓和電流向量變為 u"= [u" 1, u" 2, …, u" n]^T^和 i" = [i" 1, i" 2, …, i" n] ^T^ 。新向量與原向量的坐標變換關系為：

由于變換前后功率不變，則 i^T^ u *** = i"^T^ u"Ti***^T^ u *** =(Cii") ^T^ (Cu* u")= i"^T^Ci^T^Cuu"，從而

其中E為單位矩陣。上式就是功率不變約束下坐標變換陣需要滿足的關系式。

在一般情況下，電壓變換陣與電流變換陣可以取為同一矩陣，即令Cu=Ci= C *** ，則有C*** ^T^ = C^-1^

由此可知，在功率不變約束下，當電壓向量和電流向量選取相同的變換時，

變換陣的轉置與其逆矩陣相等，這樣的坐標變換屬于正交變換。

1.2 合成磁動勢不變約束

至于合成磁動勢不變約束，因為繞組電流與磁動勢成正比，只要把電流的合成向量分別在新坐標系和原坐標系進行投影，就可以確定新向量與原向量之間的坐標變換關系。

2、3s/2s變換

三相-兩相變換即指在三相靜止坐標系a-b-c坐標系和兩相靜止坐標系α-β坐標系之間的變換，簡稱3/2變換或Clarke變換。

2.1 Clarke變換（功率不變）

圖 1 給出了A-B-C坐標系和α-β坐標系，為方便起見，取A軸和α 軸重合。設三相繞組每相有效匝數為N3，兩相繞組每相有效匝數為N2，各相磁動勢為有效匝數與電流的乘積，其空間矢量均位于有關相的坐標軸上。由于交流磁動勢的大小隨時間在變化著，圖中磁動勢矢量的長度是隨意的

圖1 三相和兩相坐標系與繞組磁動勢的空間矢量

設磁動勢波形是正弦分布的，當三相總磁動勢與二相總磁動勢相等時，兩套繞組瞬時磁動勢在αβ軸上的投影都應相等，即

即

考慮變換前后總功率不變，在此前提下，匝數比應為

令C3/2表示從三相靜止坐標系A-B-C坐標系到兩相靜止坐標系α-β坐標系的變換矩陣，則

令C2/3表示從兩相靜止坐標系α-β坐標系到三相靜止坐標系A-B-C坐標系的變換矩陣，則

按照所采用的條件，電流變換陣也就是電壓變換陣，同時還可證明，它們也是磁鏈的變換陣。

2.2 Clarke變換（電力電子常用等幅變換）

在一些電機以及電力電子變換控制中，常為了實現計算方便，進行等幅變換，這樣變換矩陣為

即

逆變換（正變換的逆也為其轉置）為

即

即

下面舉例看下變換前后的關系，如

變換為

圖2 αβ軸上電壓波形（uα，uβ分別黃色和粉色，（幅值與abc均相等，β滯后α軸90°））

若

變換為

圖3 αβ軸上電壓波形（uα，uβ分別黃色和粉色，（幅值與abc軸均相等β超期α軸90°））

3、2s/2r變換

兩相-兩相變換即指在兩相靜止坐標系αβ坐標系和兩相旋轉坐標系dq坐標系之間的變換，簡稱2s/2r變換或Park變換。

3.1 Park變換

給出了兩相靜止坐標系αβ坐標系和兩相旋轉坐標系dq坐標系。圖中，兩相交流電流iα, iβ和兩相直流電流id, iq產生同樣的以同步轉速ω1旋轉的合成磁動勢Fs。由于各繞組匝數都相等，可以消去磁動勢中的匝數，直接用電流表示。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時間相量。

圖4 兩相和兩相坐標系與繞組磁動勢的空間矢量

dq軸和矢量Fs都以轉速ω1旋轉，分量id, iq的長短不變，相當于dq繞組的直流磁動勢。但αβ軸是靜止的，α軸與d軸的夾角θ隨時間而變化，因此is在αβ軸上的分量的長短也隨時間變化，相當于繞組交流磁動勢的瞬時值。由圖可見，id, iq和iα, iβ之間存在下列關系

則兩相靜止坐標系變換到兩相旋轉坐標系的變換陣是：

兩相旋轉坐標系變換到兩相靜止坐標系的變換陣是：

電壓和磁鏈的旋轉變換陣也與電流（磁動勢）旋轉變換陣相同。

3.2 Park變換（電力電子常用兩種變換）

在電力電子變換中，常用兩種：d軸與α軸位置相同，d軸滯后α軸90°。

第一種：d軸與α軸位置相同

其逆變換為

第二種：d軸滯后α軸90°

其逆變換為

若鎖定與A相同相位（wt），則

第一種變換后，最終d = 0, q = -1.

第二種變換，最終 d = 1, q =0.

若鎖定與A滯后90°（wt-pi/2），則

第一種變換后，最終d = 1, q = 0.

第二種變換，最終d = 0, q = 1.

4、 3s/2r變換

三相-兩相變換即指在三相靜止坐標系A-B-C坐標系和兩相旋轉坐標系dq坐標系之間的變換，簡稱3s/2r變換。

4.1 3s/2r變換矩陣

3s/2r變換如下圖所示，

圖5 三相與兩相坐標系變換空間矢量圖

從三相靜止坐標系A-B-C坐標系到兩相旋轉坐標系dq坐標系的變換式為

其反變換式為

4.2 3s/2r變換矩陣（電力電子控制中常用兩種變換）

第一種：d軸與α軸位置相同

其逆變換結構

第二種：d軸滯后α軸90°

其逆變換